董春雨早期曾在深圳健力宝和厦门蓝狮接受青训，2008年厦门蓝狮解散后转投中国足球超级联赛球队广州医药。

2010年，广州医药因涉嫌假球案件被罚降入中甲联赛，董春雨被提升进入一队，担任球队二号门将，但由于主力门将李帅的稳定发挥，没有得到出场机会。2011年，前国门杨君的自由转会加盟使得董春雨成为三号门将。为了锻炼董春雨，俱乐部将其调入由二队组成的广州青年队参加2011年中国足球乙级联赛。

2012年，在广州青年队解散后，董春雨重新回到一队效力。8月22日，董春雨在2012年中国足协杯半决赛第一回合广州恒大主场对阵辽宁宏运的比赛中第26分钟替补受伤的李帅出场，完成在广州恒大一队的首秀。他在比赛中表现出色，力保大门不失。

董春雨在2012年入选了中国U22足球队，并在与马拉维国家足球队的友谊赛中首次代表U22国家队出场。

2019年10月31日，中国足协公布出战东亚杯中国国家男子足球选拔队集训名单，董春雨入选。  2019年12月7日，董春雨入选国足选拔队出征东亚杯名单。

2020年1月，董春雨入选联赛优秀中国籍球员技术档案库。 2020年9月29日，入选中国足协公布的男子国家足球队集训名单。

2021年1月，入选中国国家男子足球队集训大名单。 3月12日，入选新一期中国国家男子足球队集训名单。  5月10日，入选中国足协公布的中国男足集训名单。